Exercice 9, § 3

a) Soient $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $\mathscr{C}_+(T)$ le cône convexe de toutes les fonctions continues positives sur $T$, $V$ une application de $\mathscr{K}_+(X)$ dans $\mathscr{C}_+(T)$ possédant les propriétés suivantes:

Montrer qu’il existe alors une diffusion $\Lambda$ unique de $T$ dans $X$ telle que $\Lambda f = Vf$ pour toute $f \in \mathscr{K}_+(X)$. Montrer que ce résultat est encore vrai si l’on remplace le cône $\mathscr{C}_+(T)$ par le cône des fonctions semi-continues inférieurement dans $T$, positives et localement bornées (cf. exerc. 6).

EXERCICES

b) On suppose que la topologie de X admet une base dénombrable. Montrer que le résultat ci-dessus est encore vrai si l’on remplace le cône $\mathscr{C}_+(T)$ par le cône des fonctions universellement mesurables dans T, positives et localement bornées.