Bài tập 9, § 3

a) Cho T và X là hai không gian compact địa phương, $\mathscr{C}_+(T)$ là nón lồi của tất cả các hàm liên tục dương trên T, và V là một ánh xạ từ $\mathscr{K}_+(T)$ vào $\mathscr{C}_+(T)$ có các tính chất sau:

Chứng minh rằng tồn tại một khuếch tán duy nhất $\Lambda$ của T vào X sao cho $\Lambda f = Vf$ với mọi $f \in \mathscr{K}_+(X)$. Chứng minh rằng kết quả này vẫn đúng nếu nón $\mathscr{C}_+(T)$ được thay bởi nón các hàm nửa liên tục dưới trên T là dương và bị chặn địa phương (xem Bài tập 6).

b) Giả sử rằng tôpô của X có một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng kết quả trên vẫn đúng nếu nón $\mathscr{C}_+(T)$ được thay bởi nón các hàm đo được phổ quát trên T là dương và bị chặn địa phương.