Exercice 11, § 5

Soit $S$ un espace compact stonien (chap. II, § 1, exerc. 13f)); on dit qu’une mesure positive $\mu$ sur $S$ est normale si, pour toute famille filtrante croissante $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ de fonctions continues dans $S$, majorée dans $\mathscr{C}(S)$, et dont $f$ est la borne supérieure dans l’espace complètement réticulé $\mathscr{C}(S)$ (borne supérieure non nécessairement égale à l’enveloppe supérieure de la famille $(f_\alpha)$), on a $\mu(f) = \sup_{\alpha \in A} \mu(f_\alpha)$. On dit qu’une mesure réelle $\lambda$ sur $S$ est normale si les mesures positives $\lambda^+$ et $\lambda^-$ sont normales.

a) Pour qu’une mesure positive $\mu$ sur $S$ soit normale, il faut et il suffit que tout ensemble rare $A$ soit $\mu$-négligeable (pour voir que la condition est nécessaire, considérer les ensembles ouverts et fermés dans $S$ qui contiennent $A$; pour voir que la condition est suffisante, remarquer que l’enveloppe supérieure et la borne supérieure dans $\mathscr{C}(S)$ d’une famille filtrante croissante et majorée $(f_\alpha)$ sont égales dans le complémentaire d’un ensemble maigre (cf. chap. II, § 1, exerc. 13 f)). En déduire que le support de $\mu$ est à la fois ouvert et fermé.

b) Soient $\mu$ une mesure positive normale sur $S$, $f$ une fonction numérique $\mu$-mesurable, $g$ la plus grande fonction semi-continue inférieurement dans $S$ et $\leq f$. Montrer que $f$ et $g$ sont égales presque partout pour $\mu$ (cf. chap. IV, 2e éd., § 5, exerc. 16b)). En déduire que, pour toute partie $\mu$-mesurable $A$ de $S$, $A - \bar{A}$ et $\bar{A} - A$ sont $\mu$-négligeables.

c) Montrer que, dans l’espace de Banach $\mathscr{M}(S)$ des mesures sur $S$, l’ensemble des mesures normales est un sous-espace vectoriel fermé, et une bande pour la structure d’espace complètement réticulé de $\mathscr{M}(S)$.