Bài tập 11, § 5

Cho $S$ là một không gian Stone compact (Ch. II, §1, Exer. 13 f)); một độ đo dương $\mu$ trên $S$ được gọi là chuẩn nếu, với mọi họ tăng có hướng $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ các hàm liên tục trên $S$ bị chặn trên trong $\mathscr{C}(S)$, và có cận trên đúng trong không gian dàn có thứ tự đầy đủ $\mathscr{C}(S)$ là $f$ (cận trên đúng này không nhất thiết bằng bao trên của họ $(f_\alpha)$), ta có $\mu(f) = \sup_{\alpha \in A} \mu(f_\alpha)$. Một độ đo thực $\lambda$ trên $S$ được gọi là chuẩn nếu các độ đo dương $\lambda^+$ và $\lambda^-$ là chuẩn.

a) Để một độ đo dương $\mu$ trên $S$ là chuẩn, điều kiện cần và đủ là mọi tập con không trù mật ở đâu cả $A$ đều là không đáng kể đối với $\mu$ (để thấy rằng điều kiện này là cần, xét các tập trong $S$ chứa $A$ mà mở và đóng; để thấy rằng điều kiện này là đủ, nhận xét rằng bao trên và cận trên đúng trong $\mathscr{C}(S)$ của một họ tăng có hướng $(f_\alpha)$ bị chặn trên là bằng nhau trên phần bù của một tập hợp nghèo (xem Ch. II, §1, Exer. 13 f)). Từ đó, suy ra rằng giá của $\mu$ vừa mở vừa đóng.

b) Cho $\mu$ là một độ đo dương chuẩn trên $S$, $f$ là một hàm số đo được đối với $\mu$, và $g$ là hàm nửa liên tục dưới lớn nhất trên $S$ thỏa mãn $\leq f$. Chứng minh rằng $f$ và $g$ bằng nhau hầu khắp nơi đối với $\mu$ (xem Ch. IV, §5, Exer. 16 b)). Từ đó, suy ra rằng với mọi tập con đo được đối với $\mu$ $A$ của $S$, $A - \overset{\circ}{A}$ và $\overline{A} - A$ là không đáng kể đối với $\mu$.

c) Chứng minh rằng, trong không gian Banach $\mathscr{M}(S)$ của các độ đo trên $S$, tập hợp các độ đo chuẩn là một không gian con tuyến tính đóng và là một băng đối với cấu trúc không gian dàn có thứ tự đầy đủ của $\mathscr{M}(S)$.