Exercice 14, § 5

Soit $\theta$ une forme linéaire sur l’espace $\mathscr{L}^\infty(T, \mu)$; pour que $\theta$ soit du type $f \mapsto \int fg\, d\mu$, où $g \in \mathscr{L}^1(T, \mu)$, il faut et il suffit que $\theta$ satisfasse aux conditions suivantes : 1° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que la relation $\mu^*(A) \leq \delta$ entraîne $|\theta(h)| \leq \varepsilon$ pour toute fonction $\mu$-mesurable $h$ telle que $|h| \leq \varphi_A$; 2° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact K tel que, pour tout ensemble $\mu$-intégrable $B \subset T - K$, on ait $|\theta(\varphi_B)| \leq \varepsilon$. (Utiliser le th. de Lebesgue–Nikodym.)