Bài tập 14, § 5

Cho $\theta$ là một dạng tuyến tính trên không gian $\mathscr{L}^\infty(T, \mu)$; để $\theta$ có kiểu $f \mapsto \int fg \, d\mu$, trong đó $g \in \mathscr{L}^1(T, \mu)$, điều kiện cần và đủ là $\theta$ thỏa mãn các điều kiện sau: 1° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\delta > 0$ sao cho quan hệ $\mu^*(A) \leq \delta$ kéo theo $|\theta(h)| \leq \varepsilon$ đối với mọi hàm $\mu$-đo được $h$ sao cho $|h| \leq \varphi_A$; 2° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact K sao cho, với mọi tập hợp $B \subset T - K$ $\mu$-khả tích, ta có $|\theta(\varphi_B)| \leq \varepsilon$. (Sử dụng định lý Lebesgue–Nikodym.)