Exercice 17, § 5

a) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $T = \{0, +\infty\}$. Montrer que, si $1 \leqslant r < s < +\infty$, les topologies induites sur $L^r \cap L^s$ par les topologies affaiblies de $L^r$ et $L^s$ ne sont pas comparables (cf. chap. IV, § 6, exerc. 8). Si $f_n$ est la fonction caractéristique de l’intervalle $\{n, n+1\}$, montrer que la suite $(\tilde{f}_n)$ tend vers 0 pour la topologie affaiblie de tous les $L^p$ tels que $p > 1$, mais non pour la topologie affaiblie de $L^1$.

b) Soit $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $T = \{0, 1\}$. Montrer que, si $r < s$, la topologie affaiblie de $L^s$ est strictement plus fine que la topologie induite sur $L^s$ par la topologie affaiblie de $L^r$ (cf. chap. IV, , exerc. 8)

c) Soit $\mu$ la mesure positive sur un espace discret pour laquelle tout point est de mesure 1. Montrer que, si $1 \leq r < s < +\infty$, la topologie affaiblie de $L^r$ est strictement plus fine que la topologie induite sur $L^r$ par la topologie affaiblie de $L^s$ (chap. IV, § 6, exerc. 9).