Bài tập 17, § 5

a) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $\mathrm{T} = [0, +\infty[$. Chứng minh rằng nếu $1 \leqslant r < s < +\infty$, các tôpô cảm sinh trên $L^r \cap L^s$ bởi các tôpô yếu của $L^r$ và $L^s$ không so sánh được (xem Ch. IV, §6, Exer. 8). Nếu $f_n$ là hàm đặc trưng của khoảng $[n, n+1]$, chứng minh rằng dãy $(\widetilde{f}_n)$ tiến tới 0 đối với tôpô yếu của tất cả các $L^p$ sao cho $p > 1$, nhưng không đối với tôpô yếu của $L^1$.

b) Cho $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $\mathrm{T} = [0, 1]$. Chứng minh rằng nếu $r < s$, tôpô yếu của $L^s$ là thực sự mịn hơn tôpô trên $L^s$ cảm sinh bởi tôpô yếu của $L^r$ (xem Ch. IV, §6, Exer. 8).

c) Cho $\mu$ là độ đo dương trên một không gian rời rạc mà mọi điểm đều có độ đo 1. Chứng minh rằng nếu $1 \leq r < s < +\infty$, tôpô yếu của $L^r$ là thực sự mịn hơn tôpô cảm sinh trên $L^r$ bởi tôpô yếu của $L^s$ (Ch. IV, §6, Exer. 9).