Exercice 20, § 5

a) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathscr{L}^1$ telle que: 1° la suite $(f_n)$ converge en mesure vers 0; 2° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\eta > 0$ tel que la relation $\mu^*(A) \leq \eta$ entraîne $\lim_{n \to \infty} \sup_A |f_n| \, d\mu \leq \varepsilon$; 3° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble intégrable $B$ tel que $\int_{T - B} |f_n| \, d\mu \leq \varepsilon$ pour tout $n$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge en moyenne vers 0.

b) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = \{0, 1\}$. Pour $1 < p < +\infty$, on désigne par $f_n$ la fonction égale à $n^{2/p}$ dans l’intervalle $\left( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right)$, à 0 ailleurs. Montrer que la suite $(f_n)$ satisfait aux trois conditions de a), et que la suite $(\tilde{f}_n)$ converge vers 0 pour la topologie affaiblie de $L^p$, mais non pour la topologie de la convergence en moyenne d’ordre $p$.