Bài tập 20, § 5

a) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{L}^1$ sao cho: 1° dãy $(f_n)$ hội tụ theo độ đo về 0; 2° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\eta > 0$ sao cho quan hệ $\mu^*(A) \leq \eta$ kéo theo $\limsup_{n \to \infty} \int_A^* |f_n| d\mu \leq \varepsilon$; 3° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập hợp khả tích $B$ sao cho $\int_{T - B} |f_n| d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $n$. Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ hội tụ theo trung bình về 0. b) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0,1]$. Với $1 < p < +\infty$, ký hiệu $f_n$ là hàm bằng $n^{2/p}$ trên khoảng $\left[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right]$, và bằng 0 ở mọi nơi khác. Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ thỏa mãn ba điều kiện của a) và rằng dãy $(\widetilde{f}_n)$ hội tụ về 0 đối với tôpô yếu của $L^p$, nhưng không hội tụ đối với tôpô hội tụ theo trung bình cấp $p$.