Exercice 21, § 5

a) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathscr{L}^1$, telle que: 1° $\lim_{n \to \infty} \inf f_n(t) \geq 0$ presque partout dans $T$; 2° pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\eta > 0$ tel que la relation $\mu^*(A) \leq \eta$ entraîne $\lim_{n \to \infty} \sup_A |f_n| \, d\mu \leq \varepsilon$; 3° pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble intégrable $B$ tel que

pour tout $n$; 4° on a $\lim_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu = 0$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge en moyenne vers 0. (Remarquer que, pour tout $\varepsilon > 0$, si $C_m$ est l’ensemble des $t \in T$ tels que $f_n(t) \geq -\varepsilon$ pour un $n \geq m$ au moins, la suite $(C_{n_l})$ est décroissante et a une intersection négligeable.)

b) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathscr{L}^1$ telle que : $1^\circ$ il existe une fonction intégrable $g$ telle que $f_n \geq g$ pour tout $n$; $2^\circ$ $\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq 0$ presque partout; $3^\circ$ $\limsup_{n \to \infty} \int f_n d\mu \leq 0$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge en moyenne vers 0. (Montrer d’abord que, pour tout ensemble mesurable $A$, on a $\liminf_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu \geq 0$; puis remarquer que, pour tout ensemble mesurable $A$, on a