Bài tập 21, § 5

(a) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{L}^1$, sao cho: 1° $\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq 0$ hầu khắp nơi trong $T$; 2° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\eta > 0$ sao cho quan hệ $\mu^*(A) \leq \eta$ kéo theo $\limsup_{n \to \infty} \int_A^* |f_n| d\mu \leq \varepsilon$; 3° với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập hợp khả tích $B$ sao cho $\int_{T - B} |f_n| d\mu \leq \varepsilon$ với mọi $n$; 4° $\lim_{n \to \infty} \int f_n d\mu = 0$. Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ hội tụ theo trung bình về 0. (Nhận xét rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, nếu $C_m$ là tập hợp các $t \in T$ sao cho $f_n(t) \geq -\varepsilon$ với ít nhất một $n \geq m$, thì dãy $(C_m)$ là giảm và có giao không đáng kể.) (b) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{L}^1$ sao cho: 1° tồn tại một hàm khả tích $g$ sao cho $f_n \geq g$ với mọi $n$; 2° $\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq 0$ hầu khắp nơi; 3° $\limsup_{n \to \infty} \int f_n d\mu \leq 0$. Chứng minh rằng dãy $(f_n)$ hội tụ theo trung bình về 0. (Trước hết chứng minh rằng, với mọi tập hợp đo được $A$, $\liminf_{n \to \infty} \int_A f_n d\mu \geq 0$; sau đó nhận xét rằng, với mọi tập hợp đo được $A$,

)