Exercice 31, § 5

Soient θ une mesure complexe sur T, et F un espace de Banach. a) Montrer que l’espace $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ est complet. (Ecrire $|\theta|$ sous la forme $\sum_\alpha \mu_\alpha$, où $(\mu_\alpha)$ est une famille sommable de mesures $\geq 0$ sur T, dont les supports forment une famille localement dénombrable de parties compactes deux à deux disjointes. Ceci définit une application continue de $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ dans $\prod_\alpha L^1_F(T, \mu_\alpha)$. Soit $\mathfrak{F}$ un filtre de Cauchy sur

L_{loc}^1(T, \theta ; F). Son image dans $\prod_{\alpha} L_F^1(T, \mu_\alpha)$ converge vers un élément $(f_\alpha)$.

Montrer que les $f_\alpha$ définissent une fonction $\theta$-mesurable $f$ sur $T$, puis que $f$ est localement $\theta$-intégrable, et que $f$ est la limite de $\mathfrak{F}$ dans $L_{loc}^1(T, \theta ; F)$).

b) Soit $p$ un nombre réel $> 1$. On note $\mathscr{L}_{loc}^p(T, \theta ; F)$ l’espace vectoriel des fonctions $\theta$-mesurables $f$ sur $T$ à valeurs dans $F$, telles que $|f|^p$ soit localement $\theta$-intégrable. On le munit des semi-normes $f \mapsto (\int |f \varphi_K|^p d|\theta|)^{1/p}$, où $K$ parcourt l’ensemble des parties compactes de $T$. Soit $L_{loc}^p(T, \theta ; F)$ l’espace séparé associé. Montrer que cet espace est complet. (Même méthode que dans a)).