Bài tập 31, § 5

Cho $\theta$ là một độ đo phức trên T, và F là một không gian Banach.

a) Chứng minh rằng không gian $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ là đầy đủ. (Viết $|\theta|$ dưới dạng $\sum_\alpha \mu_\alpha$, trong đó $(\mu_\alpha)$ là một họ độ đo khả tổng $\geqslant 0$ trên T mà giá của chúng tạo thành một họ địa phương đếm được gồm các tập con compact rời nhau từng đôi một. Điều này xác định một ánh xạ liên tục từ $L^1_{loc}(T, \theta; F)$ vào $\prod_\alpha L^1_F(T, \mu_\alpha)$. Gọi $\mathfrak{F}$ là một lọc Cauchy trên $L^1_{loc}(T, \theta; F)$. Ảnh của nó trong $\prod_\alpha L^1_F(T, \mu_\alpha)$ hội tụ đến một phần tử $(f_\alpha)$. Chứng minh rằng các $f_\alpha$ định nghĩa một hàm $\theta$-đo được f trên T, sau đó rằng f là khả tích $\theta$ địa phương, và rằng $\dot{f}$ là giới hạn của $\mathfrak{F}$ trong $L^1_{loc}(T, \theta; F)$.)

b) Cho p là một số thực $> 1$. Ký hiệu $\mathscr{L}^p_{loc}(T, \theta; F)$ là không gian vectơ của các hàm f $\theta$-đo được trên T có giá trị trong F, sao cho $|f|^p$ là khả tích $\theta$ địa phương. Trang bị cho nó các nửa chuẩn $f \mapsto (\int |f \varphi_K|^p d|\theta|)^{1/p}$, trong đó K chạy qua tập hợp các tập con compact của T. Gọi $L^p_{loc}(T, \theta; F)$ là không gian Hausdorff liên kết. Chứng minh rằng không gian này là đầy đủ. (Cùng phương pháp như trong $a$).)