Exercice 7, § 5

a) Soit $\mu$ une mesure positive sur $T$, et soit $A$ un ensemble $\mu$-intégrable tel que $\mu(A) > 0$. Montrer que si, pour tout ensemble $\mu$-intégrable $B \subset A$, on a $\mu(B) = 0$ ou $\mu(B) = \mu(A)$, il existe un point $a \in A$ tel que $\mu(\{a\}) = \mu(A)$. (Considérer l’intersection des ensembles compacts $K \subset A$ tels que $\mu(K) = \mu(A)$; montrer qu’elle n’est pas vide, qu’elle a une mesure égale à $\mu(A)$ et qu’elle se réduit à un seul point.)

b) On suppose que $\mu$ soit une mesure diffuse. Pour tout ensemble $\mu$-intégrable $A$ tel que $\mu(A) > 0$, et tout $\varepsilon > 0$, montrer qu’il existe une partie $\mu$-intégrable $B$ de $A$ telle que $0 < \mu(B) \leq \varepsilon$ (remarquer à l’aide de a) qu’il existe une partie $\mu$-intégrable $C$ de $A$ telle que $0 < \mu(C) \leq \frac{1}{2} \mu(A)$). En déduire que, lorsque $X$ parcourt l’ensemble des parties $\mu$-intégrables de $A$, l’ensemble des valeurs de $\mu(X)$ est l’intervalle fermé $[0, \mu(A)]$ (pour tout nombre $\beta$ tel que $0 < \beta < \mu(A)$, soit $\gamma$ la borne supérieure des mesures des parties mesurables $X$ de $A$ telles que $\mu(X) \leq \beta$; montrer d’abord qu’on a $\gamma = \beta$, en utilisant le résultat précédent, puis prouver qu’il existe une suite croissante $(X_n)$ de parties mesurables de $A$ telles que $\lim_{n \to \infty} \mu(X_n) = \beta$).