Bài tập 7, § 5

a) Gọi $\mu$ là một độ đo dương trên $T$, và gọi $A$ là một tập hợp $\mu$-khả tích sao cho $\mu(A) > 0$. Chứng minh rằng nếu, với mọi tập hợp $\mu$-khả tích $B \subset A$, hoặc là $\mu(B) = 0$ hoặc là $\mu(B) = \mu(A)$, thì tồn tại một điểm $a \in A$ sao cho $\mu(\{a\}) = \mu(A)$. (Xét giao của các tập hợp compact $K \subset A$ sao cho $\mu(K) = \mu(A)$; chứng minh rằng nó khác rỗng, có độ đo bằng $\mu(A)$, và thu gọn thành một điểm duy nhất.)

b) Giả sử rằng $\mu$ là một độ đo khuếch tán. Với mọi tập hợp $\mu$-khả tích $A$ sao cho $\mu(A) > 0$, và mọi $\varepsilon > 0$, chứng minh rằng tồn tại một tập con $\mu$-khả tích $B$ của $A$ sao cho $0 < \mu(B) \leq \varepsilon$ (nhận xét, với sự trợ giúp của $a$, rằng tồn tại một tập con $\mu$-khả tích $C$ của $A$ sao cho $0 < \mu(C) \leq \frac{1}{2} \mu(A)$). Từ đó, suy ra rằng khi $X$ chạy trên tập hợp các tập con $\mu$-khả tích của $A$, tập hợp các giá trị của $\mu(X)$ là khoảng đóng $[0, \mu(A)]$ (với mọi số $\beta$ sao cho $0 < \beta < \mu(A)$, gọi $\gamma$ là cận trên đúng của các độ đo của các tập con đo được $X$ của $A$ sao cho $\mu(X) \leq \beta$; trước hết chứng minh rằng $\gamma = \beta$, sử dụng kết quả trước đó, sau đó chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng $(X_n)$ các tập con đo được của $A$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \mu(X_n) = \beta$).