Exercice 1, § 6

Soient $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $\mu$ une mesure positive sur $T$, $\pi$ une application continue et $\mu$-propre de $T$ dans $X$, et soit $\nu = \pi(\mu)$.

a) Montrer que, pour toute fonction numérique $g \geq 0$, définie et semi-continue inférieurement dans $X$, $g \circ \pi$ est semi-continue inférieurement dans $T$, et on a $\nu^*(g) = \mu^*(g \circ \pi)$.

b) Montrer que, si $f$ est une fonction $\nu$-intégrable à valeurs dans un espace de Banach, $f \circ \pi$ est $\mu$-intégrable, et on a $\int f d\nu = \int (f \circ \pi) d\mu$. La réciproque est-elle valable sans condition supplémentaire (cf. § 4, exerc. 2 b))?