Bài tập 1, § 6

Cho T và X là hai không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương trên T, $\pi$ là một ánh xạ liên tục và thực sự theo $\mu$ của T vào X, và đặt $\nu = \pi(\mu)$.

a) Chứng minh rằng với mọi hàm số $g \geqslant 0$, xác định và nửa liên tục dưới trên X, $g \circ \pi$ là nửa liên tục dưới trên T và $\nu^*(g) = \mu^*(g \circ \pi)$.

b) Chứng minh rằng nếu f là một hàm khả tích theo $\nu$ nhận giá trị trong một không gian Banach, thì $f \circ \pi$ là khả tích theo $\mu$ và $\int f d\nu = \int (f \circ \pi) d\mu$. Đảo lại có đúng không nếu không có một điều kiện bổ sung (xem §4, Bài tập 2b))?