Exercice 10, § 6

Dans l’intervalle I = ]0, 1[ de R, on définit la fonction g par $g(t) = -\sqrt{n}$ pour $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right) < t \leq \frac{1}{n}$ et $g(t) = \sqrt{n}$ pour $\frac{1}{n+1} < t \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right)$ ($n = 1, 2, \ldots$), et on prolonge g par 0 dans

R – I ; g est intégrable pour la mesure de Lebesgue. On pose

montrer que la fonction f, égale à $1/\sqrt{|x|}$ dans $(-1, +1)$, à 0 ailleurs, qui est intégrable pour la mesure de Lebesgue, est telle que $t \mapsto f(G(t))g(t)$ ne soit pas intégrable dans I.