Exercice 13, § 6

Dans un intervalle compact $I = [a, b]$ de $\mathbf{R}$, soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues croissantes finies, telle que $f_n(a) = 0$ pour tout $n$, et que la somme $s(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ soit finie dans $I$. Montrer qu’il existe un ensemble $N \subset I$, négligeable pour la mesure de Lebesgue, tel que, pour tout $x \in I - N$, les dérivées $f'_n(x)$ et $s'(x)$ existent et que $s'(x) = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)$ (« théorème de Fubini »). (Utiliser l’exerc. 12. Remarquer que la série de terme général $f'_n(x)$ est convergente presque partout ; posant

considérer ensuite une suite extraite $(s_{n_k})$ telle que la série de terme général $s(x) - s_{n_k}(x)$ soit convergente dans $I$, et appliquer à cette série la remarque précédente.)