Bài tập 13, § 6

Trong một khoảng compact $I = [a, b]$ của $\mathbf{R}$, cho $(f_n)$ là một dãy các hàm liên tục, tăng, hữu hạn, sao cho $f_n(a) = 0$ với mọi $n$ và sao cho tổng $s(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ là hữu hạn trên $I$. Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp $N \subset I$, không đáng kể đối với độ đo Lebesgue, sao cho, với mọi $x \in I - N$, các đạo hàm $f'_n(x)$ và $s'(x)$ tồn tại và $s'(x) = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x)$ («định lý Fubini»). (Dùng Bài tập 12. Nhận xét rằng chuỗi có số hạng tổng quát $f'_n(x)$ hội tụ hầu khắp nơi; đặt

xét tiếp một dãy con $(s_{n_k})$ sao cho chuỗi có số hạng tổng quát $s(x) - s_{n_k}(x)$ hội tụ trên $I$, và áp dụng nhận xét trước cho chuỗi này.)