Exercice 16, § 6

Soit g une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue dans E = {0, 1}. On pose G(x) = $\int_0^x g(t)\, dt$; montrer qu’en tout point $x \in E$ où g est continue, G admet une dérivée égale à g.

b) Donner un exemple de fonction g bornée et continue presque partout dans E, telle que G n’admette pas de dérivée à droite aux points d’une partie non dénombrable de E (cf. Fonct. var. réelle, chap. I, § 2, exerc. 9).

c) Montrer que la fonction égale à $x^2 \sin \frac{1}{x^2}$ pour $x \neq 0$, à 0 pour $x = 0$, admet en tout point de E une dérivée, mais que cette dérivée n’est pas intégrable pour la mesure de Lebesgue dans E.