Bài tập 16, § 6

a) Cho $g$ là một hàm khả tích đối với độ đo Lebesgue trên $E = [0, 1]$. Đặt $G(x) = \int_0^x g(t)\,dt$; hãy chứng minh rằng tại mọi điểm $x \in E$ mà $g$ liên tục, $G$ nhận một đạo hàm bằng $g$.

b) Hãy cho một ví dụ về một hàm $g$ bị chặn và liên tục hầu khắp nơi trong $E$, sao cho $G$ không có đạo hàm phải tại các điểm của một tập con không đếm được của $E$ (xem FRV, I, §2, Bài tập 8).

c) Hãy chứng minh rằng hàm bằng $x^2 \sin \frac{1}{x^2}$ với $x \neq 0$, và bằng 0 với $x = 0$, nhận một đạo hàm tại mọi điểm của $E$, nhưng đạo hàm này không khả tích đối với độ đo Lebesgue trên $E$.