Exercice 2, § 6

Soient $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $\mathscr{P}$ l’ensemble des applications continues propres de $T$ dans $X$, muni de la topologie de la convergence compacte. Soit $H$ une partie de $\mathscr{P}$ telle que, pour toute partie compacte $K$ de $X$, la réunion des ensembles $\pi^{-1}(K)$, où $\pi$ parcourt $H$, soit relativement compacte dans $T$.

a) Montrer que l’application $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ de $H \times \mathscr{M}(T)$ dans $\mathscr{M}(X)$ n’est pas nécessairement continue lorsqu’on munit chacun des espaces $\mathscr{M}(T)$ et $\mathscr{M}(X)$ de la topologie quasi-forte (chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 8).

b) Si $B$ est une partie bornée de $\mathscr{M}(T)$, montrer que la restriction à $H \times B$ de l’application $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ est continue lorsqu’on munit chacun des espaces $\mathscr{M}(T)$, $\mathscr{M}(X)$ de la topologie vague (utiliser la prop. 15 du chap. III, 2e éd., § 1).

c) Montrer que l’application $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ de $H \times \mathscr{M}_+(T)$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ est continue quand on munit $\mathscr{M}(T)$ et $\mathscr{M}(X)$ de la topologie vague (cf. chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 10).

d) Donner un exemple où $T = X$ est compact et où l’application $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ de $\mathscr{P} \times \mathscr{M}(T)$ dans $\mathscr{M}(X) = \mathscr{M}(T)$ n’est pas continue, lorsque $\mathscr{M}(T)$ est muni de la topologie vague (prendre pour $T$ le tore $T$ et utiliser l’exerc. 2 b) du chap. III, 2e éd., § 4).