Bài tập 2, § 6

Cho T và X là hai không gian tôpô compact địa phương, $\mathscr{P}$ là tập hợp các ánh xạ liên tục thực sự từ T vào X, được trang bị tôpô hội tụ compact. Cho H là một tập con của $\mathscr{P}$ sao cho, với mọi tập con compact K của X, hợp của các tập $\pi^{-1}(K)$, trong đó $\pi$ chạy qua H, là tương đối compact trong T.

a) Chứng minh rằng ánh xạ $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ từ $H \times \mathscr{M}(T)$ vào $\mathscr{M}(X)$ không nhất thiết liên tục khi mỗi không gian $\mathscr{M}(T)$ và $\mathscr{M}(X)$ được trang bị tôpô giả mạnh (Chương III, §1, Bài tập 8).

b) Nếu B là một tập con bị chặn của $\mathscr{M}(T)$, chứng minh rằng hạn chế vào $H \times B$ của ánh xạ $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ là liên tục khi mỗi không gian $\mathscr{M}(T), \mathscr{M}(X)$ được trang bị tôpô yếu (sử dụng Mệnh đề 15 của Chương III, §1).

c) Chứng minh rằng ánh xạ $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ từ $H \times \mathscr{M}_+(T)$ vào $\mathscr{M}_+(X)$ là liên tục khi $\mathscr{M}(T)$ và $\mathscr{M}(X)$ được trang bị tôpô yếu (xem Chương III, §1, Bài tập 10).

d) Cho một ví dụ trong đó $T = X$ là compact và ánh xạ $(\pi, \lambda) \mapsto \pi(\lambda)$ từ $\mathscr{P} \times \mathscr{M}(T)$ vào $\mathscr{M}(X) = \mathscr{M}(T)$ không liên tục, khi $\mathscr{M}(T)$ được trang bị tôpô yếu (lấy T là xuyến T và sử dụng Bài tập 2 b) của Chương III, §4).