Exercice 22, § 6

Soient X, Y deux espaces compacts, U une application linéaire continue de l’espace de Banach $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ dans l’espace de Banach $\mathscr{C}(Y ; \mathbf{R})$, $\pi : X \to Y$ une application continue. On suppose que pour tout $y \in Y$ et toute fonction $f \in \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$, on ait $\inf_{\pi(x) = y} f(x) \leq (U . f)(y) \leq \sup_{\pi(x) = y} f(x)$. Montrer que dans ces conditions il existe une application vaguement continue $\sigma : y \mapsto \sigma_y$ de Y dans $\mathscr{M}_+(X)$ telle que, pour tout $y \in Y$, $\sigma_y$ soit portée par $\pi^{-1}(y)$ et que l’on ait $(U . f)(\pi(x)) = \langle f, \sigma_{\pi(x)} \rangle$ pour tout $x \in X$; réciproque. (Considérer la transposée $^tU$.)