Bài tập 22, § 6

Cho X, Y là hai không gian compact, U là một ánh xạ tuyến tính liên tục của không gian Banach $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ vào không gian Banach $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$, $\pi : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Giả sử rằng với mọi $y \in Y$ và mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$,

Chứng minh rằng dưới các điều kiện này tồn tại một ánh xạ liên tục theo tôpô yếu $\sigma : y \mapsto \sigma_y$ của Y vào $\mathscr{M}_+(X)$ sao cho, với mọi $y \in Y$, $\sigma_y$ được mang bởi $\pi^{-1}(y)$ và ta có $(U \cdot f)(\pi(x)) = \langle f, \sigma_{\pi(x)} \rangle$ với mọi $x \in X$; đảo lại. (Xét ánh xạ chuyển vị $^tU$.)