Exercice 4, § 6

Pour tout espace localement compact T, soit $\mathscr{M}^c(T)$ le sous-espace de $\mathscr{M}(T)$ formé des mesures réelles à support compact. Si T et X sont deux espaces localement compacts, $\pi$ une application continue de T dans X, $\pi$ est $\lambda$-propre et on a $\pi(\lambda) \in \mathscr{M}^c(X)$ pour toute mesure $\lambda \in \mathscr{M}^c(T)$. Donner un exemple montrant que l’application $\lambda \mapsto \pi(\lambda)$ de $\mathscr{M}^c(T)$ dans $\mathscr{M}^c(X)$ n’est pas nécessairement continue lorsque l’on munit $\mathscr{M}^c(T)$ et $\mathscr{M}^c(X)$ de la topologie vague (ou de la topologie quasi-forte (chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 8)) et que $\pi$ n’est pas une application propre (cf. chap. III, 2e éd., § 2, exerc. 1).