Exercice 6, § 6

a) Soit K l’ensemble triadique de Cantor dans l’intervalle $I = [0,1]$ (Top. gén., chap. IV, § 2, n° 5). Montrer qu’il existe sur $\mathbf{R}$ une mesure positive diffuse $v$, de support K et de masse totale 1, et une fonction continue croissante $\theta$, définie dans $\mathbf{R}$, telle que $\theta(\mathbf{R}) = I$ et $\theta(v) = \varphi_1.\mu$ ($\mu$ mesure de Lebesgue; cf. Top. gén., chap. IV, § 8, exerc. 16).

b) Déduire de a) qu’il existe sur $\mathbf{R}$ une mesure positive diffuse, étrangère à la mesure de Lebesgue, et dont le support est I tout entier (prendre dans chaque intervalle J contigu à K et contenu dans I une mesure proportionnelle à l’image de $v$ par une application affine de I sur J; puis procéder par récurrence).