Bài tập 6, § 6

a) Cho K là tập tam phân Cantor trong khoảng [0, 1] (GT, IV, §2, No. 5). Chứng minh rằng tồn tại một độ đo dương khuếch tán $\nu$ trên $\mathbf{R}$, có giá đỡ K và khối lượng toàn phần bằng 1, và một hàm tăng liên tục $\theta$, xác định trên $\mathbf{R}$, sao cho $\theta(\mathbf{R}) = I$ và $\theta(\nu) = \varphi_I \cdot \mu$ ($\mu$ là độ đo Lebesgue; xem GT, IV, §8, Bài tập 16).

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một độ đo dương khuếch tán trên $\mathbf{R}$, xa lạ với độ đo Lebesgue, có giá đỡ là toàn bộ I (trong mỗi khoảng J kề với K và được chứa trong I, lấy một độ đo tỉ lệ với ảnh của $\nu$ qua một ánh xạ affine từ I lên J; sau đó tiến hành bằng quy nạp).