Exercice 8, § 6

Soient T un espace compact, μ une mesure positive diffuse sur T, de masse totale 1.

a) Montrer qu’il existe une application continue π de T sur E = {0, 1} telle que l’image de μ par π soit la mesure de Lebesgue λ sur E. (Procéder comme dans la démonstration du th. d’Urysohn (Top. gén., chap. IX, § 4, th. 1) en définissant, pour tout t tel que 0 ≤ t ≤ 1, un ensemble ouvert U(t) ⊂ T, quarvable pour μ (chap. IV, 2e éd., § 5, exerc. 17), tel que U(0) = ∅, U(1) = T, $\overline{U(t)} \subset U(t')$ pour $t < t'$, et enfin $\mu(U(t)) = t$; on utilisera l’exerc. 7 du § 5 pour prouver que, si V, W sont deux ensembles ouverts quarrables dans T tels que $\overline{V} \subset W$ et $\mu(V) < \mu(W)$, il existe un ensemble ouvert quarrable U tel que $\overline{V} \subset U \subset \overline{U} \subset W$, et tel que

On appliquera enfin l’exerc. 5 a)).

b) Déduire de a) qu’il existe des parties de T qui ne sont pas μ-mesurables (chap. IV, § 4, exerc. 8), qu’il existe dans $\mathscr{L}^p(T, \mu)$ des suites qui convergent en moyenne d’ordre p vers 0 mais qui ne convergent vers 0 en aucun point de T, pour $1 \leq p < +\infty$ (chap. IV, § 3, exerc. 1), et des suites $(f_n)$ telles que $(\tilde{f}_n)$ converge vers 0 pour la topologie affaiblie de $L^p(T, \mu)$ mais qui ne convergent pas en mesure vers 0 (§ 5, exerc. 19).

c) On suppose en outre T métrisable. Montrer qu’il existe une partie μ-négligeable N de T, une partie λ-négligeable M de E et un homéomorphisme π de E − M sur T − N tel que, si on prolonge (arbitrairement) π en une application φ de E dans T, et $\bar{\pi}^1$ en une application ψ de T dans E, on ait $\varphi(\lambda) = \mu$ et $\psi(\mu) = \lambda$. (En utilisant l’exerc. 17 du chap. IV, 2e éd., § 5, montrer que, pour tout entier $n > 0$, il existe une partition finie de T formée d’un ensemble μ-négligeable et d’ensembles ouverts quarrables, de diamètre $\leq 1/n$ (pour une distance compatible avec la topologie de T) et de mesure $\leq 1/n$. En procédant par récurrence, en déduire par passage à la limite l’existence d’une application continue f de E − D dans T, où D est une partie dénombrable de E, telle que $f(\lambda) = \mu$; montrer qu’on peut faire en sorte que f soit un homéomorphisme de E − D sur une partie de T de mesure 1) (cf. § 8, exerc. 14).