Bài tập 8, § 6

.

¶ 8) Cho T là một không gian compact, $\mu$ là một độ đo dương khuếch tán trên T có khối lượng toàn phần 1.

a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $\pi$ của T lên E = $[0,1]$ sao cho ảnh của $\mu$ qua $\pi$ là độ đo Lebesgue $\lambda$ trên E. (Tiến hành như trong chứng minh định lý Urysohn (GT, IX, §4, Th. 1) bằng cách xác định, với mọi $t$ sao cho $0 \leq t \leq 1$, một tập mở $U(t) \subset T$, đo được theo $\mu$ (Ch. IV, §5, Bài tập 17), sao cho $U(0) = \varnothing$, $U(1) = T$, $\overline{U(t)} \subset U(t')$ với $t < t'$, và cuối cùng $\mu(U(t)) = t$; người ta dùng Bài tập 7 của §5 để chứng minh rằng nếu $V, W$ là hai tập mở đo được trong T sao cho $\overline{V} \subset W$ và $\mu(V) < \mu(W)$, thì tồn tại một tập mở đo được U sao cho $\overline{V} \subset U \subset \overline{U} \subset W$ và sao cho

Cuối cùng, áp dụng Bài tập 5 a).)

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại các tập con của T không $\mu$-đo được (Ch. IV, §4, Bài tập 8), rằng tồn tại các dãy trong $\mathscr{L}^p(T, \mu)$ hội tụ theo trung bình cấp $p$ về 0 nhưng không hội tụ về 0 tại bất kỳ điểm nào của T, với $1 \leq p < +\infty$ (Ch. IV, §3, Bài tập 1), và các dãy $(f_n)$ sao cho $(\tilde{f}_n)$ hội tụ về 0 đối với tôpô yếu của $L^p(T, \mu)$ nhưng không hội tụ theo độ đo về 0 (§5, Bài tập 19).

c) Giả sử thêm rằng T là khả mêtric. Chứng minh rằng tồn tại một tập con N của T không đáng kể đối với $\mu$, một tập con M của E không đáng kể đối với $\lambda$, và một phép đồng phôi $\pi$ của E — M lên T — N sao cho, nếu ta mở rộng (một cách tùy ý) $\pi$ thành một ánh xạ $\varphi$ của E vào T, và $\pi^{-1}$ thành một ánh xạ $\psi$ của T vào E, thì $\varphi(\lambda) = \mu$ và $\psi(\mu) = \lambda$. (Dùng Bài tập 17 của Ch. IV, §5, chứng minh rằng với mọi số nguyên $n > 0$, tồn tại một phân hoạch hữu hạn của T được tạo thành bởi một tập không đáng kể đối với $\mu$ và bởi các tập mở đo được, có đường kính $\leq 1/n$ (đối với một mêtric tương thích với tôpô của T) và có độ đo $\leq 1/n$. Tiến hành đệ quy, suy ra từ đó, bằng cách chuyển qua giới hạn, sự tồn tại của một ánh xạ liên tục $f$ của E — D vào T, trong đó D là một tập con đếm được của E, sao cho $f(\lambda) = \mu$; chứng minh rằng có thể sắp xếp để $f$ là một phép đồng phôi của E — D lên một tập con của T có độ đo 1 (xem §8. Bài tập 14).)