Exercice 3, § 7

Les notations étant les mêmes que dans l’exerc. 2, on suppose que X est une partie ouverte de T.

a) Pour toute fonction numérique $g \geq 0$ définie dans X, montrer que l’on a $\int^* g \, d\mu_X = \int_X^* g \, d\mu$ (utiliser l’exerc. 2, la prop. 3 du § 5 et la prop. 4 du § 1).

b) Soient g une fonction définie dans X, à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, $g'$ le prolongement de g à T, égal à 0 dans T – X. Pour que g soit $\mu_X$-intégrable, il faut et il suffit que $g'$ soit $\mu$-intégrable, et on a $\int g \, d\mu_X = \int_X g \, d\mu$ (utiliser a)).