Exercice 4, § 7

Les notations étant celles de l’exercice 2, montrer que, si X est fermé dans T, pour toute fonction numérique $f \geq 0$ définie dans T, on a $\int^* (f \circ j) \, d\mu_X = \int^* f \, dv$ (remarquer que l’application j est propre, et utiliser la prop. 2 du § 4). Dans les mêmes conditions, si f est une application de T dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, pour que $f \circ j$ soit $\mu_X$-intégrable, il faut et il suffit que f soit $\nu$-intégrable, et on a $\int (f \circ j) \, d\mu_X = \int f \, dv$ (§ 4, th. 2).