Exercice 15, § 8

Soit $(T_\iota)_{\iota \in I}$ une famille quelconque d’espaces compacts, et pour chaque $\iota \in I$, soit $\mu_\iota$ une mesure positive sur $T_\iota$, de masse totale 1 ; soit $\mu$ la mesure produit $\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$ sur $T = \prod_{\iota \in I} T_\iota$. Pour toute partition $(L, M)$ de $I$ en deux ensembles, on identifie $T$ au produit $T_L \times T_M$ où $T_L = \prod_{\iota \in L} T_\iota$; pour tout $t \in T$, on pose $t_L = \mathrm{pr}_L t$, de sorte que $t$ est identifié à $(t_L, t_M)$; soit $\mu_L$ la mesure $\bigotimes_{\iota \in L} \mu_\iota$ sur $T_L$. Soit $p$ un nombre réel fini et $\geq 1$; pour toute fonction $f$ de $\mathscr{L}_F^p(T, \mu)$ (F espace de Banach ou $F = \bar{\mathbf{R}}$), on pose $f_L(t) = \int f(t_L, t_M) \, d\mu_M(t_M)$. Montrer que, suivant l’ensemble filtrant des parties finies L de I, $f_L$ tend en moyenne d’ordre $p$ vers $f$, et $f_M$ tend en moyenne d’ordre $p$ vers la fonction constante égale à $\int f\,d\mu$. (Approcher $f$ par une fonction continue ne dépendant que d’un nombre fini de variables.)

En déduire que, si une partie $\mu$-mesurable A de T est telle que, pour tout $t \in A$, tout point $t'$ de T, dont les coordonnées sont égales à celles de $t$ sauf pour un nombre fini d’indices, appartient aussi à A, alors on a $\mu(A) = 0$ ou $\mu(A) = 1$.