Bài tập 15, § 8

Cho $(T_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ bất kỳ các không gian compact và, với mỗi $\iota \in I$, cho $\mu_\iota$ là một độ đo dương trên $T_\iota$ có khối lượng toàn phần bằng 1; cho $\mu$ là độ đo tích $\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$ trên $T = \prod_{\iota \in I} T_\iota$. Với mọi phân hoạch (L, M) của I thành hai tập con, ta đồng nhất T với tích $T_L \times T_M$, trong đó $T_L = \prod_{\iota \in L} T_\iota$; với mọi $t \in T$, ta viết $t_L = \mathrm{pr}_L t$, sao cho t được đồng nhất với $(t_L, t_M)$; cho $\mu_L$ là độ đo $\bigotimes_{\iota \in L} \mu_\iota$ trên $T_L$. Cho p là một số thực hữu hạn $\geqslant 1$; với mọi hàm f trong $\mathscr{L}_F^p(T, \mu)$ (F là một không gian Banach hoặc $F = \overline{\mathbf{R}}$), ta viết $f_L(t) = \int f(t_L, t_M) d\mu_M(t_M)$. Chứng minh rằng, đối với tập có hướng gồm các tập con hữu hạn L của I, $f_L$ tiến trong trung bình cấp p đến f, và $f_M$ tiến trong trung bình cấp p đến hàm hằng bằng $\int f d\mu$. (Xấp xỉ f bằng một hàm liên tục chỉ phụ thuộc vào một số hữu hạn biến.)

Từ đó, suy ra rằng nếu một tập con $\mu$-đo được A của T có tính chất là, với mọi $t \in A$, mọi điểm $t' \in T$, mà các tọa độ của nó bằng các tọa độ của t ngoại trừ một số hữu hạn chỉ số, cũng thuộc A, thì $\mu(A) = 0$ hoặc $\mu(A) = 1$.