Exercice 2, § 8

Soient T l’intervalle $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$, muni de la topologie induite par celle de $\mathbf{R}$, T' l’intervalle $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$, muni de la topologie discrète ; soient $\mu$ la mesure de Lebesgue sur T, $\mu'$ la mesure discrète sur T' définie par la masse + 1 en tout point de T', et $\nu = \mu \otimes \mu'$ la mesure produit sur $X = T \times T'$.

a) Pour tout $t \in T$, l’ensemble $\{t\}$ est $\mu'$-négligeable, mais l’ensemble $\{t\} \times T'$ n’est pas $\nu$-négligeable.

b) La « diagonale » $\Delta$ de $T \times T'$ (ensemble des points $(t, t)$, où t parcourt $(0, 1)$) est un ensemble fermé dans $T \times T'$, localement $\nu$-négligeable mais non $\nu$-négligeable, tel que, pour tout $t \in T$, $\mu'(\Delta(t)) = 1$ et, pour tout $t' \in T'$, $\mu(\Delta^{-1}(t')) = 0$ (cf. § 3, exerc. 3).

c) Sur l’espace $X \times X = Y$, on considère la mesure produit $\rho = \nu \otimes \nu$. Montrer qu’il existe dans Y un ensemble A, localement $\rho$-négligeable, tel que, pour tout $x \in X$, $A(x)$ et $\bar{A}(x)$ soient $\nu$-mesurables et non localement négligeables. (Si $x = (t, t')$, où $t \in T$, $t' \in T'$, prendre A tel que $A(x)$ contienne tous les points $(s, t) \in X$, où $0 \leq s \leq 1$).