Bài tập 2, § 8

Cho T là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$, được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}$, và T' là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$, được trang bị tôpô rời rạc; cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên T, $\mu'$ là độ đo rời rạc trên T' được xác định bởi khối lượng +1 tại mọi điểm của T', và cho $\nu = \mu \otimes \mu'$ là độ đo tích trên $X = T \times T'$.

a) Với mọi $t \in T$, tập hợp $\{t\}$ là $\mu$-không đáng kể, nhưng tập hợp $\{t\} \times T'$ không là $\nu$-không đáng kể.

b) 'đường chéo' $\Delta$ của $T \times T'$ (tập hợp các điểm $(t,t)$, trong đó t chạy qua $[0,1]$) là một tập đóng trong $T \times T'$, địa phương $\nu$-không đáng kể nhưng không $\nu$-không đáng kể, sao cho $\mu'(\Delta(t)) = 1$ với mọi $t \in T$ và $\mu(\Delta(t')) = 0$ với mọi $t' \in T'$ (xem §3, Bài tập.