Exercice 20, § 8

Intégration, V

a) Soient $\nu$ une mesure positive sur le cercle unité $U : |z| = 1$ dans $\mathbf{C}$ , et soit $\mu$ la mesure complexe $j \cdot \nu$ , où $j : z \mapsto z$ est l’injection canonique de $U$ dans $\mathbf{C}$ , de sorte que $|\mu| = \nu$ . Soit $\rho$ l’image réciproque de $\nu$ par l’homéomorphisme local canonique $\varphi : t \mapsto e^{it}$ de $\mathbf{R}$ sur $U$ (§ 6, n° 6). Soit A une partie $\nu$ -mesurable de $U$ ; si $\mu(A) = |\mu(A)| e^{i\omega}$ , montrer que l’on a $|\mu(A)| \leq |\int_{\omega - \pi/2}^{\omega + \pi/2} e^{i\theta} d\rho(\theta)|$ .

b) Déduire de a) que l’on a, lorsque A parcourt l’ensemble des parties $\mu$ -mesurables de $U$ ,

\sup_A |\mu(A)| \geq \sup_\omega \left| \int_{\omega - \pi/2}^{\omega + \pi/2} \Re(e^{i(\theta - \omega)}) \, d\rho(\theta) \right|

\geq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\omega \int_{\omega - \pi/2}^{\omega + \pi/2} \Re(e^{i(\theta - \omega)}) \, d\rho(\theta)

et en conclure que l’on a

(*)

\sup_A |\mu(A)| \geq \frac{1}{\pi} \| \mu \|

(évaluer la dernière intégrale à l’aide du th. de Lebesgue–Fubini).

c) Montrer que l’inégalité (*) est vraie pour toute mesure complexe $\mu$ bornée sur un espace localement compact X, A parcourant l’ensemble des parties $\mu$ -mesurables de X. (Soit $\mu = h . |\mu|$ , où $h$ prend ses valeurs dans U. Considérer la mesure image $v = h(|\mu|)$ sur U et montrer que l’on a $h(\mu) = j . v$ ; appliquer ensuite b) à $h(\mu)$ ).

Solution

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