Bài tập 20, § 8

a) Cho $\nu$ là một độ đo dương trên đường tròn đơn vị $U : |z| = 1$ trong $\mathbf{C}$, và cho $\mu$ là độ đo phức $j \cdot \nu$, trong đó $j : z \mapsto z$ là đơn ánh chính tắc của $U$ vào $\mathbf{C}$, sao cho $|\mu| = \nu$. Cho $\rho$ là ảnh ngược của $\nu$ qua đồng phôi địa phương chính tắc $\varphi : t \mapsto e^{it}$ của $\mathbf{R}$ lên $U$ (§ 6, No. 6). Cho $A$ là một tập con đo được theo $\nu$ của $U$; nếu $\mu(A) = |\mu(A)|e^{i\omega}$, hãy chứng minh rằng $|\mu(A)| \leq \left| \int_{\omega-\pi/2}^{\omega+\pi/2} \Re(e^{i(\theta-\omega)})\ d\rho(\theta) \right|$.

b) Suy ra từ a) rằng, khi $A$ chạy trên tập hợp các tập con đo được theo $\mu$ của $U$, ta có

và kết luận từ đó rằng (đánh giá tích phân cuối cùng với sự trợ giúp của định lý Lebesgue–Fubini).

c) Chứng minh rằng bất đẳng thức (*) đúng với mọi độ đo phức bị chặn trên một không gian địa phương compact $X$, trong đó $A$ chạy trên tập hợp các tập con đo được theo $\mu$ của $X$. (Cho $\mu = h \cdot |\mu|$, trong đó h nhận các giá trị của nó trong $U$. Xét độ đo ảnh $\nu = h(|\mu|)$ trên $U$ và chứng minh rằng $h(\mu) = j \cdot \nu$; sau đó áp dụng b) cho $h(\mu)$.)