Exercice 21, § 8

On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^n$. a) Soit $C_0$ un cube (Top. gén., chap. VI, § 1, n° 1) dans $\mathbf{R}^n$, et soit $u$ une fonction numérique intégrable (pour $\lambda$) dans $C_0$. Soit s un nombre réel tel que

Montrer qu’il existe une suite $(I_k)$ de cubes ouverts contenus dans $C_0$, deux à deux disjoints, et vérifiant les conditions suivantes : $1^\circ$ $|u(x)| \leq s$ presque partout dans l’ensemble $C_0 - \bigcup_k I_k$; $2^\circ$ si l’on pose on a $u_k \leq 2^n s$ pour tout $k$; $3^\circ$ (En divisant en deux intervalles égaux chacune des projections de $C_0$, choisir parmi les $2^n$ cubes ouverts sans points communs les cubes $I_{1i}$ tels que les « valeurs moyennes » correspondantes $u_{1i}$ soient toutes. $\geq s$, et en raison du choix de s, montrer que l’on a $u_{1i} \leq 2^n s$. Décomposer de même en $2^n$ cubes chacun des cubes de la première subdivision qui ne figure pas parmi les $I_{1i}$, ce qui donne une seconde famille finie de cubes $I_{2i}$ choisie parmi tous les nouveaux cubes obtenus comme ceux pour lesquels la valeur moyenne correspondante $u_{2i}$ est $\leq s$. Continuer par récurrence. Pour prouver que la condition $1^\circ$ est vérifiée, raisonner par l’absurde, en notant que la partie $B_m$ de $C_0 - \bigcup_k I_k$ où on a $|u(x)| \geq s + 1/m$ est, à un ensemble négligeable près, intersection d’une suite décroissante $(U_r)$ d’ouverts, où $U_r$ est la réunion des cubes de la r-ème subdivision qui ne figurent pas parmi les $I_k$ et contiennent un point de $B_m$).

b) Soit $\mathscr{F}$ l’ensemble des fonctions numériques $u$ intégrables dans $C_0$ ayant la propriété suivante : pour tout cube $C \subset C_0$, si $m_C(u)$ est la valeur moyenne

on a $\int_C |u(x) - m_C(u)|\ d\lambda(x) \leq \lambda(C)$; si $u \in \mathscr{F}$, il en est de même de $u - c$ pour tout nombre réel $c$. Pour toute fonction $u \in \mathscr{F}$, tout nombre $\sigma > 0$ et tout cube $C \subset C_0$, on note $S(\sigma, u, C)$ l’ensemble des $x \in C$ tels que $|u(x) - m_C(u)| \geq \sigma$. Enfin on désigne par $G(\sigma)$ le plus petit nombre tel que l’on ait

lorsque $u$ parcourt $\mathscr{F}$ et $C$ l’ensemble des cubes contenus dans $C_0$; on a $G(\sigma) \leq 1/\sigma$. Montrer que si $\sigma/2^n > s \geq 1$, on a (On peut se borner à prouver que, pour un $u \in \mathscr{F}$, on a et on peut pour simplifier supposer $m_{C_0}(u) = 0$. Utiliser alors la décomposition de $C_0$ en réunion de cubes $I_k$ et en un ensemble où $|u(x)| \leq s$ presque partout, en notant que si $x \in I_k$ appartient à $S(\sigma, u, C_0)$, on a $|u(x) - m_{I_k}(u)| \geq \sigma - 2^n s$ et par suite c) Déduire de b) qu’il existe deux constantes $B, b$ ne dépendant que de $n$, telles que, pour toute fonction $u \in \mathscr{F}$ et tout nombre $\sigma > 0$, on ait $\lambda(S(\sigma, u, C_0)) \leq Be^{-b\sigma} \lambda(C_0)$ (Prendre $s = e$ dans b)).