Bài tập 21, § 8

Ký hiệu $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$.

a) Cho $C_0$ là một hình lập phương (GT, VI, §1, No. 1) trong $\mathbf{R}^n$, và cho u là một hàm số có giá trị số trên $C_0$ khả tích (đối với $\lambda$). Cho s là một số thực sao cho

Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(I_k)$ các hình lập phương mở được chứa trong $C_0$, rời nhau từng đôi một, và thỏa mãn các điều kiện sau:

$1^\circ$ $|u(x)| \leq s$ hầu khắp nơi trong tập $C_0 - \bigcup_k I_k$;

$2^\circ$ nếu đặt

thì $u_k \leq 2^n s$ với mọi $k$;

$3^\circ$ $\sum_k \lambda(I_k) \leq \frac{1}{s} \int_{C_0} |u(x)| \, d\lambda(x)$.

(Chia mỗi hình chiếu của $C_0$ thành hai khoảng bằng nhau, trong số $2^n$ hình lập phương mở rời nhau từng đôi một, chọn các hình lập phương $I_{1i}$ sao cho các 'giá trị trung bình' tương ứng $u_{1i}$ đều $\geq s$, và, do sự lựa chọn của s, chứng minh rằng $u_{1i} \leq 2^n s$. Tương tự phân chia thành $2^n$ hình lập phương mỗi hình lập phương của phép phân chia thứ nhất không nằm trong các $I_{1i}$, điều này cho một họ hữu hạn thứ hai các hình lập phương $I_{2i}$ được chọn trong tất cả các hình lập phương mới nhận được là những hình mà giá trị trung bình tương ứng $u_{2i}$ là $\leq s$. Tiếp tục bằng quy nạp. Để chứng minh rằng điều kiện $1^\circ$ được thỏa mãn, hãy lập luận phản chứng, chú ý rằng tập con $B_m$ của $C_0 - \bigcup_k I_k$ nơi $|u(x)| \geq s + 1/m$ là, sai khác một tập không đáng kể, giao của một dãy giảm $(U_r)$ các tập mở, trong đó $U_r$ là hợp của các hình lập phương của phép phân chia thứ r không nằm trong các $I_k$ và chứa một điểm của $B_m$.)

b) Cho $\mathscr{F}$ là tập hợp các hàm số có giá trị số khả tích u trên $C_0$ có tính chất sau: với mọi hình lập phương $C \subset C_0$, nếu $m_C(u)$ là giá trị trung bình

thì $\int_C |u(x) - m_C(u)| \, d\lambda(x) \leq \lambda(C)$; nếu $u \in \mathscr{F}$, điều tương tự cũng đúng đối với $u - c$ với mọi số thực c. Với mọi hàm $u \in \mathscr{F}$, mọi số $\sigma > 0$ và mọi hình lập phương $C \subset C_0$, ký hiệu $S(\sigma, u, C)$ là tập hợp các $x \in C$ sao cho $|u(x) - m_C(u)| \geq \sigma$. Cuối cùng, ký hiệu $G(\sigma)$ là số nhỏ nhất sao cho

khi u chạy trên $\mathscr{F}$, và C chạy trên tập hợp các hình lập phương được chứa trong $C_0$; ta có $G(\sigma) \leq 1/\sigma$.

Chứng minh rằng nếu $\sigma/2^n > s \geq 1$ thì

(Có thể chỉ cần chứng minh rằng, với một $u \in \mathscr{F}$, ta có

(Hãy hạn chế việc chứng minh rằng, với một $u \in \mathscr{F}$, ta có

và có thể giả sử, để đơn giản hóa, rằng $m_{C_0}(u) = 0$. Khi đó hãy sử dụng phép phân tích $C_0$ thành một hợp của các hình lập phương $I_k$ và một tập hợp trên đó $|u(x)| \leq s$ hầu khắp nơi, bằng cách nhận xét rằng nếu $x \in I_k$ thuộc $S(\sigma, u, C_0)$, thì $|u(x) - m_{I_k}(u)| \geq \sigma - 2^n s$ và do đó

c) Suy ra từ b) rằng tồn tại hai hằng số $B, b$ chỉ phụ thuộc vào $n$, sao cho, với mọi hàm $u \in \mathscr{F}$ và mọi số $\sigma > 0$, ta có $\lambda(S(\sigma, u, C_0)) \leq Be^{-b\sigma} \lambda(C_0)$. (Lấy $s = e$ trong b).)