Exercice 5, § 8

Soient $T, T'$ deux espaces localement compacts, $\mu$ une mesure positive sur $T$, $\mu'$ une mesure positive sur $T'$; on suppose que toute partie compacte de $T$ soit métrisable. Soit $f$ une application de $T \times T'$ dans un espace métrisable $G$, telle que : 1° pour tout $t \in T$, l’application $t' \mapsto f(t, t')$ soit $\mu'$-mesurable ; 2° pour tout $t' \in T'$, l’application $t \mapsto f(t, t')$ soit continue. Montrer que, dans ces conditions, $f$ est $(\mu \otimes \mu')$-mesurable. (Remarquer (en utilisant le th. d’Egoroff) que, pour toute partie compacte $K$ de $T$, la restriction de $f$ à $K \times T'$ est limite d’une suite de fonctions $(\mu \otimes \mu')$-mesurables).