Bài tập 5, § 8

Cho T, T' là hai không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương trên T, $\mu'$ là một độ đo dương trên T'; giả sử rằng mọi tập con compact của T đều mêtric hóa được. Cho $f$ là một ánh xạ từ $T \times T'$ vào một không gian mêtric hóa được G, sao cho: 1° với mọi $t \in T$, ánh xạ $t' \mapsto f(t, t')$ là $\mu'$-đo được; 2° với mọi $t' \in T'$, ánh xạ $t \mapsto f(t, t')$ là liên tục. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $f$ là $(\mu \otimes \mu')$-đo được. (Nhận xét (sử dụng định lý Egoroff) rằng với mọi tập con compact K của T, hạn chế của $f$ trên $K \times T'$ là giới hạn của một dãy các hàm $(\mu \otimes \mu')$-đo được.)