Exercice 8, § 8

Soient $T$ un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive $\neq 0$ sur $T$, $A$ une espace discret, $\lambda$ la mesure sur $A$ définie par la masse +1 en chaque point de $A$.

a) Pour qu’une application $f$ de $A \times T$ dans un espace topologique soit $(\lambda \otimes \mu)$-mesurable, il faut et il suffit que, pour tout $\alpha \in A$, l’application $t \mapsto f(\alpha, t)$ soit $\mu$-mesurable.

b) Pour qu’une fonction $f$ définie dans $A \times T$, à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, soit $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable, il faut et il suffit que:

EXERCICES

1° sauf pour un ensemble dénombrable de valeurs de $\alpha \in A$, la fonction $t \mapsto f(\alpha, t)$ soit identiquement nulle; 2° pour tout $\alpha \in A$, la fonction $t \mapsto f(\alpha, t)$ soit $\mu$-intégrable; 3° on ait $\sum_{\alpha \in A} \int |f(\alpha, t)|\ d\mu(t) < +\infty$. Pour que $f$ soit essentiellement $(\lambda \otimes \mu)$-intégrable, il faut et il suffit que: 1° pour chaque $\alpha \in A$, la fonction $t \mapsto f(\alpha, t)$ soit essentiellement $\mu$-intégrable; 2° on ait $\sum_{\alpha \in A} \int |f(\alpha, t)|\ d\mu(t) < +\infty$; on a alors

c) Soient $X$ un espace localement compact, $(\alpha, t) \mapsto \rho_{\alpha, t}$ une famille de mesures positives sur $X$ ($\alpha \in A,\ t \in T$). Pour que la famille $(\alpha, t) \mapsto \rho_{\alpha, t}$ soit $(\lambda \otimes \mu)$-adéquate, il faut et il suffit que, pour tout $\alpha \in A$, la famille $t \mapsto \rho_{\alpha, t}$ soit $\mu$-adéquate, et que la famille de mesures $(\int \rho_{\alpha, t}\ d\mu(t))_{\alpha \in A}$ soit sommable.