Bài tập 8, § 8

Cho $T$ là một không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương $\neq 0$ trên $T$, $A$ là một không gian rời rạc, $\lambda$ là độ đo trên $A$ được xác định bởi khối lượng +1 tại mỗi điểm của $A$.

a) Để một ánh xạ $f$ từ $A \times T$ vào một không gian tôpô là $(\lambda \otimes \mu)$-đo được, điều kiện cần và đủ là, với mọi $\alpha \in A$, ánh xạ $t \mapsto f(\alpha, t)$ là $\mu$-đo được.

b) Để một hàm $f$ xác định trên $A \times T$, nhận giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$ hoặc trong một không gian Banach, là $(\lambda \otimes \mu)$-khả tích phân, điều kiện cần và đủ là: $1^\circ$ ngoại trừ một tập hợp đếm được các giá trị của $\alpha \in A$, hàm $t \mapsto f(\alpha, t)$ đồng nhất bằng không; $2^\circ$ với mọi $\alpha \in A$, hàm $t \mapsto f(\alpha, t)$ là $\mu$-khả tích phân; $3^\circ$ $\sum_{\alpha \in A} \int |f(\alpha, t)| d\mu(t) < +\infty$. Để $f$ là $(\lambda \otimes \mu)$-khả tích phân bản chất, điều kiện cần và đủ là: $1^\circ$ với mỗi $\alpha \in A$, hàm $t \mapsto f(\alpha, t)$ là $\mu$-khả tích phân bản chất; $2^\circ$ $\sum_{\alpha \in A} \int |f(\alpha, t)| d\mu(t) < +\infty$; khi đó ta có

c) Cho $X$ là một không gian compact địa phương, $(\alpha, t) \mapsto \rho_{\alpha, t}$ là một họ các độ đo dương trên $X$ ($\alpha \in A$, $t \in T$). Để họ $(\alpha, t) \mapsto \rho_{\alpha, t}$ là $(\mu \otimes \nu)$-thích hợp, điều kiện cần và đủ là, với mọi $\alpha \in A$, họ $t \mapsto \rho_{\alpha, t}$ là $\mu$-thích hợp, và họ các độ đo $(\int \rho_{\alpha, t}\, d\mu(t))_{\alpha \in A}$ là cộng được.