Exercice 9, § 8

Soient $u$ et $v$ deux fonctions numériques croissantes et continues à droite dans $\mathbf{R}$, et telles que $u(x) = v(x) = 0$ pour $x < 0$. Soit $w$ la fonction croissante et continue à droite dans $\mathbf{R}$, définie par $w(t) = u(t)v(t)$ pour $t \geq 0$, $w(t) = 0$ pour $t < 0$; soient $\lambda, \mu, v$ les mesures de Stieltjes associées à $u, v, w$ respectivement (§ 6, exerc. 5).

A toute fonction $f$ définie dans $\mathbf{R}$, à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach $F$, on fait correspondre la fonction $\bar{f}$ définie dans $\mathbf{R}^2$ par les conditions: $\bar{f}(x, y) = f(x)$ si $y < x$, $\bar{f}(x, y) = f(y)$ si $y \geq x$. Montrer que, pour que $f$ soit $v$-intégrable, il faut et il suffit que $\bar{f}$ soit intégrable pour la mesure produit $\lambda \otimes \mu$, et qu’on a alors $\int f\ dv = \iint \bar{f}\ d\lambda\ d\mu$ (le démontrer d’abord pour les fonctions caractéristiques d’intervalles). En déduire la formule

En particulier, si $u$ et $v$ sont continues dans $\mathbf{R}$, on a la formule d’intégration par parties