Bài tập 9, § 8

Cho $u$ và $v$ là hai hàm số tăng và liên tục phải trên $\mathbf{R}$, sao cho $u(x) = v(x) = 0$ với $x < 0$. Gọi $w$ là hàm tăng liên tục phải trên $\mathbf{R}$ được xác định bởi $w(t) = u(t)v(t)$ với $t \geq 0$, $w(t) = 0$ với $t < 0$; gọi $\lambda, \mu, \nu$ lần lượt là các độ đo Stieltjes liên kết với $u, v, w$ (§6, Exer. 5).

Với mỗi hàm $f$ xác định trên $\mathbf{R}$, nhận giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$ hoặc trong một không gian Banach $F$, ta cho tương ứng hàm $\bar{f}$ xác định trên $\mathbf{R}^2$ bởi các điều kiện $\bar{f}(x, y) = f(x)$ nếu y < x , $\bar{f}(x, y) = f(y)$ nếu $y \geq x$. Chứng minh rằng, để $f$ là $\nu$-khả tích, điều kiện cần và đủ là $\bar{f}$ khả tích đối với độ đo tích $\lambda \otimes \mu$, trong trường hợp đó $\int f\, d\nu = \iint \bar{f}\, d\lambda\, d\mu$ (hãy chứng minh trước hết cho các hàm đặc trưng của các khoảng). Từ đó, suy ra công thức

Đặc biệt, nếu $u$ và $v$ liên tục trên $\mathbf{R}$, ta thu được công thức cho phép tích phân từng phần