Exercice 26, § 1

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $\mu$-intégrables définies dans $T$, telles que pour presque tout $t \in T$, $\sup_n |f_n(t)| < +\infty$, et $\sup_n \int |f_n(t)| d\mu(t) = +\infty$. Montrer qu’il existe une suite $(c_n)$ de scalaires telle que $\sum_n |c_n| < +\infty$, et que $\sum_n c_n f_n$ ne soit pas $\mu$-intégrable (appliquer à l’espace $L^1(\mathbf{N}) = F$ le th. de Gelfand-Dunford).