Exercice 5, § 3

Soit $T$ la réunion de l’ensemble triadique de Cantor $K \subset (0, 1)$ et de l’intervalle $I = (1, 2)$ de $\mathbf{R}$, et soit $\mu$ la mesure induite sur l’espace compact $T$ par la mesure de Lebesgue. Soit $P$ une partie non mesurable de $I$ ayant la puissance du continu (chap. IV, § 4, exerc. 8), et soit $\psi$ une bijection de $K$ sur $P$. On considère dans $T$ la relation d’équivalence $R$ pour laquelle tout point $x$ n’appartenant pas à $K \cup P$ est sa propre classe d’équivalence, et la classe d’un point $y \in K$ est formée de $y$ et de $\psi(y)$. Montrer que $R$ est $\mu$-mesurable, mais que le saturé de $K$ pour $R$ n’est pas $\mu$-mesurable.